Теми рефератів:
Головна

Банківська справа
Безпека життєдіяльності
Біографії
Біологія
Ботаніка та сільське г-во
Будівництво
Бухгалтерський облік та аудит
Видавнича справа та поліграфія
Військова кафедра
Географія
Геологія
Держава і право
Екологія
Економіка
Економіко-математичне моделювання
Етика
Журналістика
Зарубіжна література
Інформатика
Історичні особистості
Історія
Історія техніки
Комунікації і зв'язок
Короткий зміст творів
Краєзнавство та етнографія
Кулінарія
Культура і мистецтво
Логіка
Маркетинг
Математика
Медицина, здоров'я
Менеджмент
Митна система
Мовознавство, філологія
Музика
Педагогіка
Політологія
Право, юриспруденція
Про Москву
Промисловість, виробництво
Психологія
Релігія і міфологія
Решта рефератів
Російська мова
Соціологія
Транспорт
Фізика
Фізкультура і спорт
Філософія
Фінанси
Хімія

Зворотній зв'язок

Реферат: Мінімізація функції багатьох змінних Наближені чисельні методи Метод Монте-Карло


Категорія: Математика



1. Мінімізація функції багатьох змінних. Аналітичні методи.
Теорема Вейєрштрасса: нехай - безліч функцій неперервних на замкненому обмеженій множині. Якщо, тоді досягає своїх найбільшого і найменшого значень. Визначення: точки максимуму і мінімуму називаються точками екстремуму функції. Теорема Ферма: (необхідна умова існування екстремуму). Нехай функція - визначена в околиці точки. Якщо - є точкою екстремуму функції, і в цій точці існують приватні похідні, тоді
(1)
Узагальнення: якщо - точка екстремуму, то в цій точці або виконується формула (1), або похідна не визначена. Визначення: точки, в яких виконується умова (1), називаються точками екстремуму функції. Зараз викладемо достатні умови існування екстремумів функції багатьох змінних. Для цього згадаємо деякі відомості з теорії квадратичних форм. Визначення: квадратична форма
(2) (3)
називається позитивно (негативно) визначеною, якщо (відповідно) для будь-якого, за умови, і звертається в нуль, тільки при. Приклад:
- позитивно-визначена форма. - Не є позитивно-певної, хоча, тому що . - Негативно-визначена форма.
Визначення: квадратичну форму, яка приймає як позитивні, так і негативні значення називають невизначеною формою. Приклад:
4) - невизначена квадратична форма.
Тепер, ми вже можемо сформулювати достатні умови існування екстремумів для функції багатьох змінних. Теорема: нехай, і нехай є критичною точкою функції. Якщо квадратична форма
(4)
(тобто другий диференціал функції в точці) є позитивно-певної (негативно-визначеній) квадратичною формою, то точка - є точкою мінімуму (відповідно максимуму). Якщо ж квадратична форма (4) є невизначеною, то в точці - екстремуму немає. На питання: коли квадратична форма є позитивно (або негативно) певною, відповідає критерій Сильвестра: Для того, щоб квадратичні форми (2), (3) були позитивно-визначеними, необхідно і достатньо, щоб
(5)
Для того, щоб квадратична форма (2), (3) була негативно-визначеної, необхідно і достатньо, щоб
(6) (7)
Як бачимо, для знаходження точок екстремуму нам потрібно вирішувати систему , загалом, нелінійних рівнянь (1), а для з'ясування характеру точки екстремуму потрібно на основі критерію Сильвестра перевіряти умови (5), (6) і (7) для диференціальної квадратичної форми (4) в точці екстремуму. Проілюструємо цей метод на прикладі 5: Функція двох змінних:
(8)
Рішення: знайдемо критичні точки:
(9)
звідки отримуємо критичні точки: А (0; 0) ; В (3, 2). Досліджуємо ці точки. Для цього нам потрібно з'ясувати, в кожній з цих точок, до якого виду належить квадратична форма:
(10) (11) (12) (13)
У точці A (0; 0) маємо: < br/>,
так що, і умови критерію Сильвестра не дають відповіді на питання про наявність екстремуму в цій точці. Для вирішення цього питання треба залучити старші похідні і форми більш високого порядку, для яких відповідної загальної теорії поки немає, тому потрібно звертатися до чисельних досліджень. У точці B (3, 2) маємо:
,
отримуємо матрицю квадратичної форми:
.
тобто за критерієм Сильвестра B (3, 2) є точкою максимуму:
2. Метод градієнтного спуску.
Як ми бачили з останнього чисельного прикладу, строгий аналітичний метод не завжди приводить до мети (випадок, коли в критичній точці). У подібних, і в більш складних випадках застосовують різні наближені аналітичні методи, які в математичному сенсі іноді менш строго обгрунтовані, але, тим не менш часом призводять до бажаного результату. До таких методів відносяться і градієнтні методи найшвидшого спуску. Нехай, нам потрібно знайти. Розглянемо деяку точку і обчислимо в цій точці градієнт функції:
(14)
де - ортонормованій базис в просторі. Якщо, то вважаємо: (15)
де, а вибирається з умови збіжності ітераційного процесу:
(16)
де, а вибираються з умови збіжності. Формулу (16) можна розписати у вигляді:
перше наближення; (17)
друге наближення; (18) ............................. m-тое наближення; (19) Тут m - число ітерацій. Процес ітерації зупиняється, коли досягається необхідна гранична похибка, тобто коли виконані умови зупинки ітерації:
(20)
Приклад 6: Знайти мінімум функції Рішення: візьмемо початкову точку. З (14) маємо:
(21)
(22)
Складаємо итерационную формулу (16):
(23)
Маємо:
(24 ) (25) (26)
Ясно, що якщо h вибрати так, щоб, тобто , То ...


Сторінка 1 из 2 | Наступна сторінка

Правий куточок
загрузка...