Теми рефератів:
Головна

Банківська справа
Безпека життєдіяльності
Біографії
Біологія
Ботаніка та сільське г-во
Будівництво
Бухгалтерський облік та аудит
Видавнича справа та поліграфія
Військова кафедра
Географія
Геологія
Держава і право
Екологія
Економіка
Економіко-математичне моделювання
Етика
Журналістика
Зарубіжна література
Інформатика
Історичні особистості
Історія
Історія техніки
Комунікації і зв'язок
Короткий зміст творів
Краєзнавство та етнографія
Кулінарія
Культура і мистецтво
Логіка
Маркетинг
Математика
Медицина, здоров'я
Менеджмент
Митна система
Мовознавство, філологія
Музика
Педагогіка
Політологія
Право, юриспруденція
Про Москву
Промисловість, виробництво
Психологія
Релігія і міфологія
Решта рефератів
Російська мова
Соціологія
Транспорт
Фізика
Фізкультура і спорт
Філософія
Фінанси
Хімія

Зворотній зв'язок

Реферат: Шпаргалка з Математики 3


Категорія: Математика



диференціальні рівняння. Рішення різних геометричних, фізичних та інженерних задач часто призводять до рівнянь, які пов'язують незалежні змінні, що характеризують ту мул іншу задачу, з якою - небудь функцією цих змінних і похідними цієї функції різних порядків. Як приклад можна розглянути простий випадок рівноприскореного руху матеріальної точки. Відомо, що переміщення матеріальної точки при рівноприскореному русі є функцією часу і виражається за формулою: В свою чергу прискорення a є похідною за часом t від швидкості V, яка також є похідною за часом t від переміщення S. Тобто Тоді отримуємо: - рівняння пов'язує функцію f (t) з незалежної змінної t і похідною другого порядку функції f (t). Визначення. Диференціальним рівнянням називається рівняння, що зв'язує незалежні змінні, їх функції та похідні (або диференціали) цієї функції. Визначення. Якщо диференціальне рівняння має одну незалежну змінну, то воно називається звичайним диференціальним рівнянням, якщо ж незалежних змінних дві або більше, то таке диференціальне рівняння називається диференціальним рівнянням в приватних похідних. Визначення. Найвищий порядок похідних, що входять в рівняння, називається порядком диференціального рівняння. Приклад. - Звичайне диференціальне рівняння 1 - го порядку. У загальному вигляді записується. - Звичайне диференціальне рівняння 2 - го порядку. У загальному вигляді записується - диференціальне рівняння в приватних похідних першого порядку. Визначення. Спільним рішенням диференціального рівняння називається така диференціюється функція y = ? (x, C), яка при підстановці у вихідне рівняння замість невідомої функції звертає рівняння в тотожність. Властивості загального рішення. 1) Т.к. постійна С - довільна величина, то взагалі кажучи диференціальне рівняння має нескінченну безліч рішень. 2) За яких-небудь початкових умовах х = х0, у (х0) = у0 існує таке значення С = С0, при якому рішенням диференціального рівняння є функція у = ? (х, С0). Визначення. Рішення виду у = ? (х, С0) називається приватним рішенням диференціального рівняння. Визначення. Завданням Коші (Огюстен Луї Коші (1789-1857) - французький математик) називається знаходження будь-якого приватного рішення диференціального рівняння виду у = ? (х, С0), що задовольняє початковим умовам у (х0) = у0. Теорема Коші. (Теорема про існування та єдиності розв'язку диференціального рівняння 1 - го порядку) Якщо функція f (x, y) неперервна в деякій області D в площині XOY і має в цій області безперервну приватну похідну, то яка б не була точка (х0, у0) в області D, існує єдине рішення рівняння, визначене в деякому інтервалі, що містить точку х0, що приймає при х = х0 значення ? (х0) = у0, тобто існує єдине рішення диференціального рівняння. Визначення. Інтегралом диференціального рівняння називається будь-яке рівняння, що не містить похідних, для якого дане диференціальне рівняння є наслідком. Приклад. Знайти рішення диференціального рівняння. Загальне рішення диференціального рівняння шукається за допомогою інтегрування лівої і правої частин рівняння, яке попередньо перетворено наступним чином: Тепер інтегруємо:
- це спільне рішення вихідного диференціального рівняння.
Припустимо, задані деякі початкові умови: x0 = 1; y0 = 2, тоді маємо При підстановці отриманого значення постійної в загальне рішення отримуємо приватне рішення при заданих початкових умовах (рішення задачі Коші). Визначення. Інтегральної кривої називається графік y = ? (x) рішення диференціального рівняння на площині ХОY. Определеніе.Особим рішенням диференціального рівняння називається таке рішення, у всіх точках якого умова єдиності Коші не виконується, тобто в околиці деякої точки (х, у) існує не менше двох інтегральних кривих. Особливі рішення не залежать від постійної С. Особливі рішення не можна отримати із загального рішення ні при яких значеннях постійної С. Якщо побудувати сімейство інтегральних кривих диференціального рівняння, то особливе рішення буде зображуватися лінією, яка в кожній своїй точці стосується принаймні однієї інтегральної кривої. Відзначимо, що не кожне диференціальне рівняння має особливі рішення. Приклад. Знайти рішення диференціального рівняння: Знайти особливе рішення, якщо воно існує.

Дане диференціальне рівняння має також особливе рішення у = 0. Це рішення неможливо отримати з загального, однак при підстановці у вихідне рівняння отримуємо тотожність. Думка, що рішення y = 0 можна отримати із зага...


Сторінка 1 из 11 | Наступна сторінка

Правий куточок
загрузка...